Diophante et Hippatie décident de jouer à une variante du jeu de NIM dont les règles peuvent se résumer de la manière suivante :
Le premier joueur écrit un nombre A compris entre 1 et 2004. Le second lui ajoute un nombre B compris entre 1 et A+2. Le premier joueur continue de la même façon en ajoutant au total un nombre C compris entre 1 et B+2. A chaque tour, les joueurs ajoutent un nombre compris entre 1 et celui joué par le joueur précédent augmenté de 2.Ils jouent ainsi jusqu'au moment où le vainqueur atteint un nombre cible X fixé avant le début du jeu et supposé inférieur ou égal à 5000.
Diophante en galant homme propose à Hippatie qu'elle commence la partie et lui en contrepartie choisit le nombre X. Hippatie refuse. Pourquoi ?

Source : d'après un problème (Albert et Zoé) posé aux 3 ème Championnat International de Jeux Mathématiques.

En prime, une variante de ce problème.
Diophante et Hippatie jouent une (k+1)-ième variante du jeu de NIM en présence d'Hippolyte qui fixe deux nombres entiers N et k <N. N est le nombre de jetons dans un tas unique et k est le maximum de jetons que le premier joueur peut enlever du tas au 1 er tour. Aux tours suivants, chaque joueur peut enlever un nombre de jetons au plus égal au nombre de jetons enlevé au tour précédent par l'adversaire. Le joueur qui enlève le ou les derniers jetons gagne la partie.
Hippolyte vient d'annoncer les deux nombres N=160 et k=25 et invite Diophante à jouer le premier.Celui-ci suggère de laisser la main à Hippatie. Pourquoi ?

Source : d'après New Zealand Mathematical Olympiad Camp - Christchurch 1998

 Solution