E426. Le piquet Ă  cheval et ses variantes Imprimer
E4. Jeux de NIM et variantes
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ProblÚme n°
Le piquet Ă  cheval est un trĂšs vieux jeu français qui est une version simplifiĂ©e du jeu de NIM. Avec un seul tas de 25 jetons, deux joueurs chacun Ă  son tour prennent un nombre quelconque de jetons compris entre 1 et 7. Le joueur qui ramasse le dernier jeton a gagnĂ©. Combien de jetons doit prendre le premier joueur pour ĂȘtre sĂ»r de gagner ?

GĂ©nĂ©ralisation avec N jetons et un entier k < N qui est le nombre maximum de jetons qui peuvent ĂȘtre enlevĂ©s Ă  chaque tour.

Dans les trois variantes ci-aprÚs, il y a toujours au départ un seul tas de 25 jetons et dans les deux premiÚres c'est le joueur qui ramasse le dernier jeton qui gagne.

ProblÚme n°2
Chacun Ă  son tour, les deux joueurs prennent un nombre de jetons inclus entre 1 et le double du nombre de jetons pris prĂ©cĂ©demment par son adversaire. Au premier tour, le joueur qui commence la partie est autorisĂ© Ă  prendre 1 ou 2 jetons. Peut-il gagner ?

ProblÚme n°3
Chacun Ă  son tour, les deux joueurs prennent un nombre de jetons compris entre 1 et 4 mais il est interdit d'enlever le complĂ©ment Ă  5 du nombre de jetons que vient de prendre l'adversaire. Celui qui est empĂȘchĂ© de jouer en raison de cette rĂšgle. Combien de jetons doit prendre le premier joueur pour ĂȘtre sĂ»r de gagner ?

ProblÚme n°4
Chacun Ă  son tour, les deux joueurs prennent un nombre de jetons compris entre 1 et 4. A la fin de la partie, chaque joueur additionne le nombre de jetons qu'il a ramassĂ©s. Le joueur qui a un nombre pair de jetons est le vainqueur. Combien de jetons doit prendre le premier joueur pour ĂȘtre sĂ»r de gagner ?
Sources : d'aprĂšs revues diverses et la rubrique de G. Cohen et E. Busser dans Pour la Recherche ? n°315 ? dĂ©cembre 1998


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