Problème proposé par Dominique Souder

Le Salon du C.I.J.M. n’a pas pu, hélas, se tenir fin mai 2020, pour cause de la Covid-19. Quel dommage, on y prend son pied en faisant des maths tout en s’échappant des contraintes des programmes scolaires, en toute liberté, et on peut défier les visiteurs.
Voici une énigme liée à un jeu de 52 cartes, dont j’ai eu l’idée pour la circonstance :
Max a attribué en secret à chaque carte une valeur entière selon sa famille :
- La valeur a à tout trèfle (T), la valeur b à tout carreau (K), la valeur c à tout coeur (C), la valeur d à tout pique (P).
De plus 0 < a < b < c < d, et (a + b + c + d) = 21 (21e anniversaire oblige !).
Max tire 21 cartes en cachette, les regarde, puis il multiplie les 21 valeurs : il annonce 120932352, et demande à Ludo si grâce à sa calculatrice il saura dire combien il a tiré de cartes de chaque sorte (T, K, C, P).
Celui-ci tape sur sa calculatrice puis dit : - « c’est embêtant, je vais devoir prendre un papier et un crayon»
Puis après avoir griffonné : - « j’ai plusieurs possibilités. »
Max lui dit alors : « la solution est toujours celle qui privilégie le côté coeur ».
Aidez Ludo à donner la composition des 21 cartes (T, K, C, P).

 Solution

Pierre Henri Palmade,Maurice Bauval,Raymond Bloch,Jean Moreau de Saint Martin et Daniel Collignon ont résolu le problème.
A noter que dans l'esprit de l'auteur du problème, le produit des 21 valeurs (120932352 = 2¹¹3¹⁰) faisant apparaître les seuls facteurs premiers 2 et 3  et chacune des couleurs étant susceptible d'être tirée dans le lot de 21 cartes. les valeurs des couleurs sont exclusivement des multiples de 2 et/ou de 3. Le problème a alors une solution unique : 10 T, 1 K, 10 C, 0 P.
Sii on admet que la valeur d'une couleur peut avoir des facteurs premiers autres que 2 et 3 dès lors que cette couleur ne figure pas dans le lot de 21 cartes, la problème admet une deusième solution : 0T, 11 K, 10 C, 0 P. Il y a dix Coeurs dans les deux cas.