Problème proposé par Pierre Leteurtre

Quand les nombres tournent… et changent d’allure
On considère deux spirales construites sur le plan muni d’un repère orthonormé  (O,x,y)
Dans les deux cas, on part de l’origine  P₁=(0,0) et on tourne toujours dans le même sens :
droite → haut → gauche → bas → …
                                              

Spirale n°1 — la spirale classique à pas unité
À chaque étape, on avance d’un segment de longueur 1.
On numérote les points dans l’ordre :1:(0,0), 2:(1,0), 3:(1,1), 4:(0,1), 5:(−1,1),… 
On opère dans un damier −200 ≤ x ≤ 200,−200 ≤ y ≤ 200.
Q₁₁ Quelles sont les coordonnées du point 2026.
Q₁₂ Pour tout point n de coordonnées (x,y), on pose p= 100*abs(x)+abs(y) avec abs(a) = valeur absolue de a.
Existe-t-il des points du damier tels que n = p ?

Spirale n°2 — la spirale à pas croissants
On garde les mêmes directions, mais la longueur des segments est maintenant 1,2,3,4,5,… Le k-ième déplacement a donc longueur k
Q₂₁ Quelles sont les coordonnées du point 2026.
Q₂₂ Pour tout point n de coordonnées (x,y), on pose q = abs(x)+abs(y) avec abs(a) = valeur absolue de a.
Recenser tous les points n ≤ 2026 tels que n = q.

 Solution