I166. A un degré près Imprimer
I. Trajets optimaux

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On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord  intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif < 90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.

                                                     I166


Q1 Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q2 On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.

 Solution


pdfClaude Felloneau,pdfPierre Renfer,pdfFrancesco Franzosi,pdfElie Stinès,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPierre Henri Palmade,pdfThérèse Eveilleau,pdfEmmanuel Vuillemenot,pdfPaul Voyer,pdfPierre Leteurtre,pdfPatrcik Gordon,pdfDaniel Collignon,pdfJean-Louis Legrand et pdfMarc Humery ont résolu le problème.
Nota: l'auteur du problème plaide coupable car il a rédigé la deuxième question en oubliant qu'il y avait une marque double au point diamétralement opposé au point de départ de sorte que pour n = 54° il y a 44 marques rouges et non pas 45. La question Q2 n'a donc pas de solution.
Thérèse Eveilleau nous permet de le vérifier grâce à l'animation qu'elle a conçue sur son site Bienvenue en mathématiques magiques et qui permet d'obtenir pour toute valeur entière de n comprise entre 1° et 89° le nombre de marques rouges sans omission...ni double compte.