Problème proposé par Stan Wagon
On considère l’ensemble formé des sommets d’un hexagone régulier de côté unité, auquel on ajoute son centre. Il y a alors 12 paires de points situés à distance 1 l’un de l’autre : les 6 côtés du périmètre et les 6 rayons. Le rapport r entre le nombre de segments de longueur unité et le nombre de points est donc égal à 12/7.

Q₁ Montrer qu’il existe un ensemble de 9 points distincts du plan pour lequel r = 2 [***]
Q₂Trouver un entier k tel qu’avec un ensemble de k points distincts du plan on a r = 3.[****]
Q₃ Quel que soit l’entier r > 2, montrer qu’on sait trouver un ensemble de n points distincts du plan avec lequel le rapport est égal à r [*****]

 Solution