H164. A la recherche des extrêmes Imprimer
H. Graphes et circuits

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Diophante donne à Zig le nombre entier z > 4 et à Puce le nombre entier p > 4 puis il demande à chacun d’eux de tracer sur le recto puis sur le verso d’une feuille de papier respectivement z  et p points de sorte que trois points quelconques ne sont jamais sur la même droite.
Sur le recto, chacun  trace le maximum possible de quadrilatères convexes et sur le verso le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes.
Q1 Zig constate qu’il a tracé au total  45 quadrilatères de plus que Puce. Déterminez z et p  en justifiant vos réponses Donnez des exemples de configurations obtenues par les deux comparses.
Q2 Cher lecteur, avec un point de plus que Zig, déterminez le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes que vous pouvez tracer.

 Solution


pdfPierre Henri Palmade,pdfThérèse Eveilleau,pdfDaniel Collignon,pdfJacques Guitonneau,pdfBernard Vignes ont résolu le problème.

Par ailleurs Thérèse Eveilleau a préparé sur son site Bienvenue en Mathématiques magiques une animation qui permet de dénombrer les quadrilatères convexes dans une configuration de n points dont le mode de placement et le nombre sont choisis par l'opérateur.

A noter enfin que ce problème est le dual du problème diffusé en 2011 sur le site de diophante.fr :  H139-Principe de précaution oblige qui est de la famille des problèmes "Nombre minimum de croisements dans un graphe à n sommets ", appelés en anglais "Crossing number problems". Les résultats sont identiques.