| H137. Les points gentils |
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| H. Graphes et circuits |
 
J'appelle « gentil » tout point qui se trouve exactement à l'intersection de trois droites distinctes du plan. Pour tout n supérieur ou
égal à 3, je trace successivement 1,2,3,...n droites dans le plan de façon Ã
obtenir le nombre maximum de points
gentils. J'obtiens ainsi une suite non décroissante de nombres entiers dont le terme
général est a(n) avec a(3) = 1, a(4) = 1, etc....
Je m'arrête quand pour la première fois l'écart entre deux termes consécutifs de la suite est égal à 4. Trouver le nombre k de droites que j'ai tracées et le nombre correspondant a(k) de points gentils. Pour les plus audacieux : déterminer a(k+1), a(k+2),.... Nota : donner une représentation graphique des configurations obtenues pour les différentes valeurs de n allant de 3 à k. Source : d'après olympiades suisses de mathématiques 2008. SolutionCe problème est difficile à traiter quand on trace une droite après l'autre pour repérer à chaque étape le nombre maximum de points gentils. A partir de n = 10,les droites forment une jungle inextricable.Le problème devient beaucoup plus abordable si on pense au problème dual des alignements de pommiers dans un verger. Voir la solution H137 - Les_points_gentils pour éclaircir cet étrange rapprochement. |