Diophante vient de fabriquer un casier à bouteilles qui a la forme d'une caisse en bois rectangulaire mais il a mal calculé ses dimensions. Sa largeur est de 33 centimètres et il peut placer quatre bouteilles de diamètre d = 7 centimètres (numérotées 1,2,3 et 4) à l'horizontale sur la première rangée du casier mais il lui manque 2 centimètres pour en placer une cinquième. Les bouteilles n°1 et n°4 sont calées contre les deux bords du casier tandis que les bouteilles n°2 et n°3 sont séparées de leurs voisines par un espace arbitraire.
Il empile ensuite trois bouteilles numérotées 5,6 et 7 sur une deuxième rangée de telle sorte que ces trois bouteilles soient en équilibre stable et que les sept bouteilles soient bien calées. Par exemple dans la figure n°1 ci-après, ces conditions sont satisfaites, ce qui n'est pas le cas de la figure n°2 où une secousse latérale du casier fait glisser la bouteille n°5 vers la droite.
Il continue en plaçant quatre bouteilles numérotées 8,9,10 et 11 sur une troisième rangée dans les mêmes conditions que précédemment.

Il observe qu'aucune des deux dernières rangées n'est à l'horizontale comme le montre la figure n°1. Il poursuit son empilement avec les bouteilles n°12,13,14,etc... et constate qu'à un certain moment plusieurs bouteilles sont rangées à l'horizontale. Quels sont leurs numéros ?
Avec la largeur du casier égale à 34 centimètres, Diophante aurait-il nécessairement observé le même phénomène ?

Source : d'après Charles Payan ( Directeur de recherche CNRS)

 Solution