Problème proposé Michel Lafond
Soient a,b et c les sommets d'un triangle équilatéral de côté égal à l'unité. On trace les cercles (Γ₁),(Γ₂) et (Γ₃) de centres a,b et c et de rayon unité.
Le point A étant confondu avec le point a, on trace le point B diamétralement opposé à A sur (Γ₂) puis le point C à l'intersection autre que A des cercles (Γ₂) et (Γ₃).
On trace la tangente commune (Δ) aux cercles (Γ₁) et (Γ₃) qui n'a aucun point d'intersection avec (Γ₂). On désigne par D et E les points de tangence respectifs de (Δ) avec (Γ₃) et (Γ₁) . On obtient ainsi le pentagone convexe ABCDE.
Sur le cercle (Γ₁) on trace le point e tel que l'angle α = (aE,ae) mesuré dans le sens horaire est de 10°. Le cercle de centre e et de rayon unité coupe (Γ₃) au point d. On obtient ainsi le pentagone convexe abcde.
Avec k exemplaires identiques de l'un de ces pentagones, on peut paver sans trou ni chevauchement un polygone régulier de k côtés tandis qu'avec un nombre infini d'exemplaires de l'autre pentagone, on peut paver tout le plan.
Déterminer les dimensions exactes de chacun des deux pentagones ainsi que la valeur de k.Donner une représentation graphique des deux pavages réalisés avec ces deux pentagones.
Pour les plus courageux: existe-t-il d'autres valeurs entières de l'angle α en degrés ≤ 30° telles que l'on puisse réaliser avec le deuxième pentagone abcde un pavage de même nature que celui obtenu avec α = 10°.