| D369. Tétraèdre orthocentrique |
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| D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres |
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Problème proposé par Pierre Renfer
On dit qu’un tétraèdre ABCD est orthocentrique si ses quatre hauteurs (les droites passant par un sommet et perpendiculaires à la face opposée) sont concourantes en un point H appelé orthocentre. Les longueurs des arêtes sont notées : a = BC, b = CA, c = AB, d = DA, e = DB, f = DC Q1Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : a) Le tétraèdre est orthocentrique b) Chaque arête est orthogonale à l’arête opposée c) Les égalités : a2 + d2 = b2 + e2 = c2+ f2 Q2 Calculer les coordonnées barycentriques de H dans le repère affine (A, B, C, D) en fonction de a, b, c, k, où k2 = a2 + d2 = b2 + e2 = c2+ f2 Solution |
