| D332. A touche-touche |
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| D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres |
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Q1 - Déterminer dans le plan le nombre maximum de triangles qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont un segment commun de longueur > 0 [*]
Q2 - Déterminer dans l'espace à trois dimensions le nombre maximum de tétraèdres qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont une surface commune d’aire >0 ? [***] Q3 - Pour un entier k quelconque ≥ 2, existe-t-il dans l'espace à trois dimensions k polyèdres convexes qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont une surface commune d’aire >0 ? [*****] Solution Paul Voyer,Daniel Collignon et Marie-Christine Piquet ont résolu les deux permières questions avec 4 triangles en réponse à Q1 et 8 tétraèdres en réponse à Q2.La réponse à Q3 est surprenante : quel que soit k, aussi grand soit-il, on sait trouver dans l'espace à 3 dimensions k polyèdres satisfaisant les conditions de l'énoncé. Le problème est connu sous le nom de '"Crum's problem" et l'on trouvera la démonstration de A.S. Besicovitch dans le document D332ASB.pdf. On lira par ailleurs avec intérêt l'article très fouillé de Jeff Erickson Arbitrarily Large Neighborly Families of Congruent Symmetric Convex 3-Polytopes |
