Soient un nombre premier p > 3 et un polygone convexe P, pas nécessairement régulier, de p côtés.
Q₁ Prouver que pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ (p – 1)/2, on sait joindre les sommets de P à partir de l’un d’eux dans le même sens de k en k par des segments qui forment un polygone P_k à périmètre continu de p côtés.[*]
On dit alors que P_k est un polygone étoilé d’espèce k (pour k = 1, P₁ ≡ P).
P_k est caractérisé par les p angles saillants compris entre deux côtés consécutifs.On désigne par a(p,k) la somme de ces p angles saillants.
Exemple : P pentagone convexe, P₂ pentagone étoilé d’espèce 2.
Les 5 angles saillants sont  DAC, EBD, ACE, BDA et  CEB.

                
Q₂ Prouver que quels que soient p et k (1 ≤ k ≤ (p – 1)/2)  la somme a(p,k) s’exprime en nombre entiers de degrés et donner la formule générale de a(p,k) en fonction de p et de k.[***]

Q₃ Les nombres de côtés p, q, r et s de quatre polygones convexes P,Q,R,S  sont quatre nombres premiers.
Sachant que a(p,3) = a(q,4) = a(r,6) = a(s,9) = a ≤ 2023, déterminer a, p, q, r et s [**].

 Solution