Problème proposé par Bernard Vignes

On effectue une rotation d’un polygone régulier P₀ de n côtés d’un angle α dans le sens horaire autour de son centre O et on obtient un polygone Pα
La figure ci-après réalisée avec un heptagone régulier illustre la surimpression de Pα sur l’original P₀.

Soient a l’aire du polygone P₀ et  p son périmètre.
On désigne par a₁ l’aire commune aux deux polygones P₀  et Pα (en vert sombre sur la figure) et par p₁ le périmètre du polygone qui est la frontière de la réunion des intérieurs de P₀  et Pα.(polygone de 28 côtés sur la figure).
Démontrer que quel que soit l’angle α, a₁/a + p₁/p est une constante que l’on déterminera.

Source : Revue Parabola Volume 57 Problème Q1642

 Solution