Cette rubrique va permettre de (re)découvrir quelques propriétés intéressantes de carrés construits à partir des côtés d'un triangle.

1. Soit un triangle ABC. On construit les carrés ABDE et BCFG comme ci-après : les points D et E et le point C sont situés de part et d'autre par rapport à AB, il en est de même des points F et G et du point B par rapport à AC.





Soient P et Q les centres respectifs des carrés ABDE et ACFG. M étant le milieu du segment BC, montrer que MPQ est un triangle rectangle isocèle.



2. Etape suivante : on prend le milieu R du segment EG. Montrer que le quadrilatère MPRQ est un carré.





3. Troisième et quatrième propriétés à démontrer : la médiane du triangle AEG issue de A est hauteur du triangle ABC et RA=BC/2.





4. On poursuit en considérant les droites BG, CE et DF. Montrer qu'elles sont concourantes.





5. On trace le point N milieu du segment DF. Montrer que les triangles BNC et ENG sont rectangles isocèles.





6. Pour poursuivre toujours avec le triangle ABC, on construit le carré BCIJ avec les points I et J de l'autre côté de A par rapport à BC. Soit S le centre du carré BCIJ.
   
   

Montrer que :
- les segments AS et PQ sont égaux entre eux,
- les droites AS et PQ sont perpendiculaires entre elles,
- les droites AS, BQ et CP sont concourantes.




7. Et l'on termine avec une extension de la question précédente : on trace un quadrilatère ABCD sur les côtés duquel on construit extérieurement 4 carrés. Démontrer que les segments joignant les centres des carrés construits sur les côtés opposés du quadrilatère sont à la fois perpendiculaires et égaux entre eux.

 Solution