Les tentatives ont été nombreuses dans le passé pour essayer de résoudre par des constructions géométriques simples des problèmes désormais catalogués comme problèmes impossibles : trisection d'un angle, quadrature du cercle, doublement du volume d'un cube,etc.. . De même il y a de nombreuses constructions géométriques qui ne peuvent pas être réalisées avec un compas et une règle non graduée car les équations sous jacentes qui donnent les côtés ou les angles font intervenir des polynômes de degré supérieur à 2.

L'objet de cette rubrique est de montrer à travers deux exemples que des constructions approchées ingénieuses ont été trouvées et donnent lieu à des exercices de géométrie fort plaisants.

1. Construction d'un ennéagone c'est à dire d'un polygone régulier de 9 côtés :

On part d'un cercle (Ce) de centre O et de rayon unité. Soient AB et CD deux diamètres orthogonaux entre eux.
- A partir de A, on trace E sur le circonférence du cercle de telle sorte que AE = AO = 1.
- Du point B pris comme centre, on trace le cercle de rayon BE qui coupe le cercle (Ce) en F extérieur à CD du côté de D.
- Puis on trace le cercle de centre F et de rayon FA qui coupe CD en G.
- Le cercle de centre C et de rayon CG coupe l'arc CB du cercle (Ce) en H.
- A partir de H on porte huit fois la distance CH afin d'obtenir sur la circonférence de (Ce) les points I,J,K,L,M,N,P et ..C( ?) qui constituent avec H les 9 sommets d'un ennéagone.

Montrer que le neuvième point ainsi obtenu après le point P n'est pas confondu avec C . Toutefois comme l'erreur reste très faible, montrer qu'elle est peu visible à l'oeil nu sur une feuille de papier de format normal.

2. Trisection d'un angle entre 0 et 90°

Voici une trisection approchée d'un angle entre 0 et 90° degrés particulièrement remarquable due à P. Cayre :

- Sur la demi-droite OX de l'angle XOY à triséquer, on prend un point arbitraire P puis un point A tel que OA = 8OP et, enfin, sur l'autre demi-droite OX' prolongeant OX, un point Q tel que OQ = 4 OP.
- On trace ensuite le cercle de centre P passant par A qui coupe OY en M.
- Enfin, on trace le cercle de centre Q passant par M qui coupe OX' en B.

Montrer que l'angle MBA est alors approximativement le tiers de l'angle XOY et estimer l'erreur dans le pire des cas.
Source : Pierre Tougne - Pour la Science - août 1984

 Solution