D265. Une propriété biséculaire Imprimer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

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Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité.Une triangulation de ce polygone  consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Source : sangaku japonais

 Solution


Ce sangaku japonais (au masculin comme l'a rappelé Michel Lafond et non au féminin de l'énoncé initial) a intéressé de nombreux lecteurs :pdfMichel Goudard,pdfClaude Felloneau,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMaurice Bauval,pdfMichel Lafond,pdfJacques Guitonneau,pdfPierre Henri Palmade,pdfGaston Parrour,pdfPierre Jullien,pdfPierre Leteurtre,pdfPaul Voyer,pdfMarie-Christine Piquet,pdfDaniel Collignon et Jean Nicot. La plupart d'entre eux ont fait appel au théorème (japonais) de Lazare Carnot.