Problème proposé par Michel LafondDans le plan, on appelle orthogone un polygone (A
1,A
2,A
3 ,....A
n) [A
n+1 = A
1] tel que :
• Les sommets sont deux à deux distincts.
• Tous les angles sont droits.
• Les côtés ouverts ] A
i-1,A
i [ sont deux à deux disjoints. [Pas de croisement]
Un orthogone (A
1,A
2,A
3 ,....A
n) est dit arithmétique si ses côtés mesurent 1, 2, 3, …, n dans cet ordre.
Q
1 : Démontrer que dans un orthogone arithmétique, n est un multiple de 8.
Q
2 : Démontrer que pour tout entier k ≥1 il existe un orthogone arithmétique à 8k sommets.
Q
3 : Combien existe-t-il d’orthogones arithmétiques à 8 sommets ? 16 sommets ?
Un orthogone est dit géométrique si ses côtés sont des réels en progression géométrique avec une raison q > 1.
Q
4 : Trouver un orthogone géométrique avec un nombre de côtés le plus petit possible.
