D251. Un sangaku diophantien Imprimer
D2. Géométrie plane : autres problèmes
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Trouver la dimension entière d'un carré à l'intérieur duquel quatre cercles C1,C2,C3 et C4 calés aux quatre coins, sont tangents à un cinquième cercle C5. Les quatre premiers cercles ont pour rayons des valeurs entières dont les trois premières R1,R2 et R3 sont connues : 165, 157, 221.Donner les rayons de C4 et de C5 ainsi que les coordonnées du centre de C5 par rapport au coin inférieur gauche du carré.

Source:
célèbre tablette sangaku  de la préfecture de Gunma (1874).


 Solution


La résolution du problème est facilitée par l'utilisation de la formule du théorème de Casey accessible à l'adresse: http://mathworld.wolfram.com/CaseysTheorem.html. et dans laquelle le côté du carré a s'exprime en fonction du rayon du quatrième cercle tangent intérieurement.On obtient ainsi une équation diophantienne dont la résolution donne pour solution unique a = 2010 et R4 = 228.

 

Paul Voyer a résolu le problème sur ces bases.
Autre solution