Le triangle heptagonal ABC a les trois angles aux sommets qui sont dans le rapport 1,2 et 4. On prend par convention le rayon du cercle circonscrit au triangle Ã©gal à 1.

La promenade permet de découvrir neuf propriétés qui font aussi bien appel à la trigonométrie qu'à la géométrie.

1)      Quelle est l'aire du triangle ?

2)      Quelle est la somme des carrés des côtés ?

3)      Quelle est la somme des carrés des inverses des côtés ?

4)      Quelle est la somme des carrés des hauteurs issues des sommets A,B et C ?

5)      Quel est le carré de la distance du centre du cercle circonscrit à l'orthocentre ?

6)      Quel est le produit des tangentes des angles au sommet ?

7)      Démontrer que le double du petit côté est la moyenne harmonique des deux autres côtés.

8)      Soient P,Q et R les milieux des côtés BC,AC et AB et H,I et J les pieds des hauteurs issues de A,B et C sur les côtés BC,AC et AB. Comparer les triangles PQR et HIJ.

9)      Soient D, E et F les pieds des bissectrices issues des sommets A,B et C sur les côtés BC,AC et AB. Que peut-on dire du triangle DEF ?

 Solution