Ces trois problèmes classiques de géométrie du triangle et du cercle peuvent être résolus de multiples manières. Le lecteur est invité (sans aucune obligation !) à donner des solutions faisant appel aux  beautés de l’inversion.
Problème n°1 [**]
On considère quatre cercles (C1),(C2),(C3) et (C4) tels que le cercle (C3) admet les points P et Q comme points de tangence extérieure avec (C1) et (C2) et le cercle (C4)  admet les points R et S comme points de tangence  extérieure avec ces deux mêmes cercles. Démontrer que les quatre points P,Q,R,S sont cocycliques.
Problème n°2 [***]
La bissectrice de l’angle en A du triangle ABC rencontre le côté BC au point D. Le point D se projette respectivement en E,F,G,H sur les droites [AC], [AB], [BE] et [CF].Les droites [BE] et [CF] se rencontrent en I .Démontrer que les quatre points A,F,G,I sont cocycliques de même que les quatre points A,E,H,I .
Problème n°3 [****]
On considère un demi-cercle (Γ) de diamètre AB et de centre O. Une droite coupe (Γ) aux points C et D et la droite [AB] au point M tel que MB < MA, MD < MC.
Soit K le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles AOC et DOB. Prouver que la droite [KM} est perpendiculaire à la droite [OK]

 Solution