D1896. Perspectives - D1896. Perspectives D1. Géométrie plane : tri... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 3000 p

Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le triangle ABC qui admet O pour centre du cercle circonscrit à ABC, I centre idu cercle nscrit et I_a, I_b, I_c centres des cercles exinscrits dans les secteurs des angles en A, B, C.
On place le point B_a sur la droite [CA] à l'opposé de C par rapport à A tel que AB_a = AB.
On place le point A_b sur la droite [CB] à l'opposé de C par rapport à B tel que BA_b = AB.
On place le point C_b sur la droite [AB] à l'opposé de A par rapport à B tel que BC_b = BC.
On place le point B_c sur la droite [AC] à l'opposé de A par rapport à C tel que CB_c = BC
On place le point A_c sur la droite [BC] à l'opposé de B par rapport à C tel que CA_c = CA.
On place le point C_a sur la droite [BA] à l'opposé de B par rapport à A tel que AC_a = CA.
Les droites A_bB_a et A_cC_a se coupent en D, les droites A_bB_a et B_cC_b se coupent en E et enfin les droites A_cC_a et B_cC_b se coupent en F.
Q₁ Démontrer que les droites [A_bB_a], [B_cC_b] et [A_cC_a] sont respectivement perpendiculaires aux droites [OI_c],[OI_a] et [OI_b].
Q₂ Démontrer les égalités DC_a = AcF, DB_a = A_bE, EC_b = B_cF.
Q₃ Ω étant le centre du cercle circonscrit à DEF, démontrer l’égalité vectorielle 2OΩ = IO
Q₄ Montrer que les droites [AD], [BE], [CF] sont concourantes en un point situé sur OI.

Solution