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D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q₁ On trace un triangle ABC et un point P du plan (strictement intérieur ou extérieur au triangle). Soient trois droites perpendiculaires aux droites [PA],[PB] et [PC]. Les perpendiculaires à [PA] et [PB] se coupent en C',les perpendiculaires à [PB] et [PC] se coupent en A' et les perpendiculaires à [PC] et [PA] se coupent en B'.
Démontrer que les droites issues respectivement de A’,B’ et C’ et perpendiculaires aux droites [BC],[CA] et [AB] sont concourantes en un point P’.
Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’B’C’ sont orthologiques P étant le centre d'orthologie de ABC relativement à A'B'C' et P’ le centre d'orthologie de A’B’C’ relativement à ABC.
Q2 Soit un triangle ABC et un point P du plan (strictement intérieur ou extérieur au triangle). Tracer le triangle A’B’C’ orthologique au triangle ABC de sorte que le centre P’ d’orthologie de A’B’C’ relativement à ABC soit confondu avec P.
Démontrer que les droites AA’,BB’ et CC’ sont concourantes en un point X.
Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’B’C’ sont bilogiques et que X est le centre de perspective des triangles ABC et A’B’C’.
Q3 Soit un triangle ABC. Une droite quelconque Δ coupe les droites [BC], [CA] et [AB] en D,E et F. Les perpendiculaires en D à [BC] et en E à [CA] se coupent en C’’, les perpendiculaires en E à [CA] et en F à [AB] se coupent en A’’et les perpendiculaires en F à [AB] et en D à [BC] se coupent en B’’
Démontrer que :
- les droites AA’’,BB’’ et CC’’ sont concourantes en un point Y.
- les cercles circonscrits aux triangles ABC et A’’B’’C’’ sont orthogonaux et leurs deux points d’intersection sont le point Y et le centre de similitude Z des deux triangles.
Nota : on dit alors que les triangles ABC et A’’B’’C’’ sont paralogiques et que le point Y est le centre de perspective des deux triangles.
Solution
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
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