D1881. A votre convenance Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

calculator_edit.png  

Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ1) et B sur (Γ2 ). La parallèle à la droite [AB] passant par M rencontre (Γ1) en un deuxième point C et (Γ2) en un deuxième point D. Les droites [AC] et [BD] se rencontrent au point E tandis que la droite [CD] rencontre la droite [AN] au point P et la droite [BN] au point Q.
Démontrez dans un ordre quelconque à votre convenance tout ou partie des propriétés suivantes :
P1 : EP = EQ
P2 : CD = 2AB.
P3 : La droite [EN] est bissectrice de l’angle  d1881CND.
P4 : Les points A,B,E et N sont cocycliques
P5 : Les triangles NCE et NED sont semblables
P6 : La droite [EN] est la symédiane issue de E dans le triangle CED.
Nota : une seule de ces propriétés a fait l’objet d’un problème lors  d’une récente olympiade internationale de mathématiques.

 Solution



pdfMichel Rome,pdfCatherine Nadault,pdfThérèse Eveilleau,pdfPierre Renfer,pdfMaurice Bauval,pdfPierre Leteurtre,pdfPaul Voyer et pdfJean Nicot ont résolu le problème.