D1811. En souvenir de Toshio Seimiya Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

calculator_edit.png  

Soient un triangle ABC rectangle en A, M le milieu de son hypotĂ©nuse  et (Γ) son cercle circonscrit. La droite qui passe par les milieux de AB et de AC coupe le cercle (Γ) aux points P et Q.
Dans le demi-plan dĂ©limitĂ© par la droite BC qui contient A, on trace les cercles (ΓB)  et (ΓC) circonscrits aux triangles ABM et ACM puis le cercle (Îł) tangent Ă  la droite BC et extĂ©rieurement aux cercles (ΓB)  et (ΓC). On dĂ©signe par R et S les points de contact de (Îł) avec (ΓB)  et (ΓC).
Dans l'autre demi-plan dĂ©limitĂ© par la droite BC, on trace le cercle (Îł') tangent Ă  la droite BC et extĂ©rieurement aux cercles (ΓB)  et (ΓC). On dĂ©signe par T et U les points de contact de (Îł') avec (ΓB)  et (ΓC).
DĂ©montrer que les six points P,Q,R,S,T et U sont cocycliques.

Nota: Toshio Seimiya,mathématicien japonais, a conçu dans les années 1950 à 2000 un très grand nombre de problèmes de géométrie dont la plupart ont été diffusés dans la revue canadienne Crux Mathematicorum.Ce problème est une variante de l'un de ses problèmes les plus connus.

 Solution



pdfMaurice Bauval,pdfPierre Leteurtre,pdfPierre Henri Palmade,pdfJean-Louis Legrand et pdfBernard Vignes ont résolu le problème.