D1835. La saga des dichotomies (7ième épisode) - D1835. La saga des dichotomies (7ième épisode...

Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer
Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.

Solution

Les trois arcs d'hyperbole n'ont pas échappé à

Jean Moreau de Saint Martin,

Jean Nicot,

Pierre Henri Palmade,

Bernard Vignes ainsi, évidemment,qu'aux auteurs du problème

Thérèse Eveilleau et

Pierre Renfer
Thérèse Eveilleau a préparé une animation sur son site Bienvenue en mathématiques magiques afin d'illustrer la trace du milieu M du segment PQ ainsi que la trace de l'enveloppe de ce segment.

Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0.

Q₁ : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23.

Quel entier s'écrit ab ?

Q₂ : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139.

Quels entiers s'écrivent ab ?

Q₃ : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13.

Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ?

Q₄ : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48.

Quel entier s'écrit abc ?

Q₅ : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168.
Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f?

Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.