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Problème proposé par Jean-Louis Aymé

Soient :
ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°,
(O) le cercle circonscrit à ABC,
F le point de [AB] tel que ACF = 30°,
(U) le cercle tangent à (O) en C, passant par F,
E le second point d’intersection de (U) avec (CA).

Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.

Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0.

Q₁ : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23.

Quel entier s'écrit ab ?

Q₂ : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139.

Quels entiers s'écrivent ab ?

Q₃ : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13.

Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ?

Q₄ : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48.

Quel entier s'écrit abc ?

Q₅ : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168.
Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f?

Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.

Solution