D154. Le tranchet du cordonnier Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles
calculator_edit.png  

L'outil préféré de Sutor est un tranchet en acier trempé dont le contour est délimité par trois demi-cercles tangents 2 à 2, de centres O, O1 et O2 et de diamètres tous distincts 2a, 2b et 2c tels que 2a = 2b + 2c.


Sutor a gravé sur le tranchet le segment PQ de longueur d tangent aux demi-cercles intérieurs et le cercle inscrit de centre I et de rayon r tangent aux trois demi-cercles. Toutes les longueurs a,b,c,d et r s'expriment en nombres entiers de millimètres.

Sachant que le diamètre AB du plus grand cercle tient dans l'empan de la main droite de Sutor, déterminer les dimensions a,b,c du tranchet.

Pour les amateurs de géomètrie :


- Donner une construction à la règle et au compas de PQ et du cercle inscrit de centre I tangent aux demi-cercles.
- D est à l'intersection de la perpendiculaire en C à AB avec la circonférence du plus grand cercle. R et S sont les points de tangence du cercle inscrit de centre I avec les cercles de centres O1 et O2.

 

Quels sont en millimètres les rayons respectifs :
- du cercle de centre O3 tangent à CD et aux cercles de centres O et O1,
- du cercle de centre O4 tangent à CD et aux cercles de centres O et O2,
- du plus grand cercle de centre O5 tangent à PQ et au cercle de centre O,
- du cercle de centre O6 qui passe par les trois points C,R et S.


 Solution


Paul Voyer,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante et Daniel Collignon ont résolu le problème.
Autre solution
 
Commentaires :
 Le tranchet du cordonnier ou encore le couteau du savetier est une figure très connue depuis Archimède sous le nom grec arbelos. Une analyse remarquable par son exhaustivité a été faite par Baptiste Gorin sur les nombreuses propriétés de cette figure.Le lecteur   y trouvera les démonstrations géométriques de toutes ces propriétés qui font appel à des notions très simples (théorème de Pythagore et théorème de Thalès) mais aussi à l'inversion, transformation très élégante, malheureusement oubliée dans les lycées.
Par ailleurs Daniel Collignon mentionne les deux liens suivants :

http://mathworld.wolfram.com/Arbelos.html

http://www.cut-the-knot.org/proofs/arbelos.shtml