| D1851. L'orthocentre prend sa place |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
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Problème proposé par Pierre-Jean Laurent
Pour un point P quelconque d'un triangle acutangle ABC, on suppose seulement connues les distances PA, PB, PC aux trois sommets ainsi que les distances PA', PB', PC' aux trois côtés (A',B',C' désignant les projections orthogonales de P sur les trois côtés). Les principaux points remarquables du triangle réalisent le minimum d'une fonction n'utilisant que ces 6 distances. Ainsi par exemple : - Le centre de gravité, intersection des médianes, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fg(P) = PA2 + PB2 + PC2. - Le centre du cercle inscrit, intersection des bissectrices, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fci(P) = max(PA',PB',PC'). - Le centre du cercle circonscrit, intersection des médiatrices, réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fcc(P) = max(PA, PB, PC). - Le point de Fermat-Torricelli est le point du triangle qui minimise la fonction Fft(P) = PA + PB + PC ; c'est la définition-même qu'en a donnée Pierre de Fermat (1636). Evangelista Torricelli a montré peu aprés (1640), en réponse à Fermat, qu'il se trouve à l'intersection des trois cercles circonscrits auxtriangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés du triangle. - Le point de Lemoine, intersection des symédianes (les droites symétriques de la médiane par rapport à la bissectrice), réalise le minimum sur le triangle de la fonction Fl(P) = PA'² + PB'² + PC'². Qu'en est-il de l'orthocentre, intersection des hauteurs ? Trouver une (ou plusieurs) fonctions n'impliquant que ces 6 distances, dont le minimum sur le triangle coïncide avec l'orthocentre Solution Pierre Henri Palmade,Pierre Leteurtre,Jean Moreau de Saint Martin et l'auteur Pierre-Jean Laurent ont résolu le problème. |
