Voici sept petits problèmes de géométrie dont certains ont plusieurs décennies d'existence et n'ont pas pris une ride. Le triangle équilatéral y est le roi et la trigonométrie sauf exception y est très mal vue.
Pour accéder à la solution de chacun des sept problèmes, se reporter à la fin de tous les énoncés en bas de page et cliquer sur la barre "solution".

Problème N°1
Dessiner dans le plan une courbe fermée qui a par exemple la forme d'une corne de mouton (variété de pomme de terre)

 

Démontrer que la courbe contient les trois sommets d'un triangle équilatéral
Source : Centrale des Maths (2002) -  Université de Régina (Canada)

Problème N°2

Quelle est la ligne de longueur minimale qui partage le triangle équilatéral en deux parties d'aires égales ?
Source : Mathematical quickies de Charles W. Trigg - 1967

 

Problème N°3
Un triangle équilatéral AEF est inscrit dans un rectangle ABCD, avec A sommet commun au triangle et au rectangle, E sur BC et F sur CD.

Démontrer que l'aire du triangle ECF est égale à la somme des aires des triangles ABE et ADF.

Source : Centrale des Maths (2001) -  Université de Régina (Canada)

 

Problème N° 4

Dans un triangle équilatéral ABC, on considère un point sur la circonférence du cercle inscrit au triangle de rayon R. Montrer sans l'usage de formules trigonométriques que la somme est constante quand varie sur la circonférence du cercle.
Qu'en est il si l'on considère la somme avec un point circulant sur la circonférence d'un cercle concentrique au cercle inscrit et de rayon r < R ?
Source : American Mathematical Monthly 1949

Problème N°5

Soit ABC un triangle équilatéral de côté égal à 1. Les points I sur BC, J sur AC et K sur AB sont tels que AI, BJ et CK se rencontrent en O Du point O, on voit AB sous un angle droit et AC sous un angle de 150°.

En excluant l'usage de toute formule trigonométrique, calculer les distances BI,CJ et AK.

Problème N°6

Soit ABC un triangle équilatéral d'aire égale à 7. On choisit M sur AC tel que AM < MC et N sur AB tel que BN = AM. BM et CN se coupent en O. Sachant que l'aire du triangle BOC vaut2, calculer l'angle AOB  en excluant encore une fois l'usage de toute formule trigonométrique.

Problème N°7

Diophante reçoit six des ses petits neveux pour fêter l'anniversaire de l'aîné. Il a préparé un tarte qui a la forme pour le moins originale d'un triangle équilatéral. Il a choisi cette forme car il est paresseux et il sait qu'en trois coups de couteau, il peut très aisément partager la tarte en six parts parfaitement équitables.

Un septième neveu arrive à l'impromptu avant le partage de la tarte. Diophante décide de maintenir le découpage de la tarte en trois coups de couteau. Peut-il trouver un découpage qui donne sept parts de même surface ? Sinon, quel est le partage (toujours avec trois coups de couteau ) le moins inégalitaire possible qui minimise le rapport entre les surfaces de la plus grande part et de la plus petite part ?

Source : Journal of recreational mathematics - Volume 30 n°2

 Solution