Problème proposé par Patrick Gordon

Je me trouve à la place Abel, au sommet A d'un triangle ABC formé par 3 rues qui joignent deux à deux les places Bourbaki et Cauchy. Je dois aller en un point M de BC et je me demande quel est le chemin le plus court : par B ou par C?
Manifestement, il existe un point D de BC tel que, si mon but M est de tel côté de D, je dois passer par B et vice-versa.
Le problème serait le même si j'étais à la place Bourbaki ou Cauchy : il existe un point E et un point F tels que, etc.
J'explore un peu et je découvre des statues de Diophante, Erdös et Fermat justement aux points D, E, F.
Q₁ Montrer que les droites AD, BE, CF sont concourantes quel que soit le triangle ABC.
Q₂ Par un dédale de petites rues, je parviens à leur point de concours N où je découvre une statue de Newton. Montrer que N est un point remarquable du triangle ABC. Lequel?
Q₃ Poursuivant mon exploration je découvre que la rue rectiligne de l’Institut Géographique National relie dans cet ordre les places Inaudi, Gauss et Newton. La place Inaudi est à égale distance des rues AB,BC et CA. Par ailleurs IG = 100 mètres et GN = 200 mètres. Démontrer que la place Gauss est un point remarquable du triangle ABC.
Q₄ Poursuivant mon exploration à partir de la  place Hilbert, je découvre une rue qui me mène tout droit à  la place Gauss avant d'arriver à la place Oronte de Pergame. Marchant à pas réguliers, je mets deux fois plus de temps pour aller de la place Hilbert à la place Gauss que pour aller de cette dernière à la place Oronte de Pergame. Celle-ci est à égale distance des places Abel, Bourbaki et Cauchy.
Montrer que la place Hilbert est un autre point remarquable du triangle ABC.Si OI = 400 mètres, quelle est la distance NH?

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin,Paul Voyer et Maurice Bauval ont résolu le problème.