D1810. Le merveilleux arc brisé en tiers-point |
D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
Problème proposé par Thérèse Eveilleau
Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (Γ). Les points P et Q partagent le côté BC en trois segments égaux BP,PQ et QC. L'arc de cercle de centre P et de rayon PC coupe son homologue de centre Q et de rayon QB en un point S,sommet de l'arc brisé en tiers-point BSC, situé du même côté que A par rapport à BC. Soit O le sommet du triangle équilatéral de base PQ situé du même côté que S par rapport à AB. La droite BO coupe l'arc CS au point I et la droite CO coupe l'arc BS au point J. La droite IJ coupe le cercle (Γ) aux points M et N. Calculer le ratio SO/SA et démontrer que la corde MN est diagonale d'un polygone régulier remarquable inscrit dans le cercle (Γ). Source: Hugues Libergier, architecte rémois (1229 - 1263), bâtisseur de cathédrales. SolutionMaurice Bauval,Pierre Henri Palmade,Paul Voyer,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Leteurtre,Patrick Gordon et Thérèse Eveilleau ont tous identifié le pentagone régulier comme étant le polygone remarquable inscrit dans le cercle (Γ). |