Diophante se sent un peu à l'étroit sur son terrain ABC triangulaire de 100 m 2 dont les côtés sont a, b et c. Il envisage une extension qui lui permet d'avoir un nouveau terrain triangulaire encadrant le sien avec une surface qui s'exprime en multiple de la surface actuelle c'est à dire en centaines de m 2 . Il convient sagement que la nouvelle surface n'excèdera jamais 2500 m 2.

Voici comment il opère : il prolonge la ligne CB au delà de B et fixe un point E tel que BE=p*BC avec p nombre rationnel, il prolonge de la même manière la ligne AC au delà de C et détermine le point F tel que CF=q*AC avec q rationnel. Enfin le point G au-delà de A sur la ligne BA tel que AG=r*AB avec r rationnel.

 

- Trouver les nombres rationnels (les plus simples possibles) qui permettent à Diophante de tracer rapidement les contours du triangle EFG de telle sorte que la surface de EFG soit égale à 200, 300, 400, 500 ,.... 1000,....2500 m 2.
- Dans le choix des coefficients p, q et r Diophante a des contraintes. Son arpenteur lui laisse entendre qu'il sait mesurer des distances s'exprimant en multiples entiers ou fractions simples avec les chiffres 1,2,3,4,5 et 6 mais qu'il est réfractaire au chiffre 7 qu'il estime maudit!

Diophante calcule les surfaces possibles du triangle EFG en choisissant d'abord les coefficients p, q et r n'utilisant que les nombres 1 et 2 à savoir 1, 2 et 1/2 puis n'utilisant que les chiffres 1,2 et 3 à savoir 1, 2, 3, 1/3, 2/3, 3/2....etc..
Peut-il faire mesurer à son arpenteur la panoplie complète des 25 triangles EFG dont les surfaces s'échelonnent de 100 à 2500 m 2 sans qu'il ait besoin d'utiliser le chiffre maudit ?

 Solution