Problème proposé par Dominique Roux

Etant donné un triangle ABC et une droite (L),on projette orthogonalement A, B, C sur (L) en respectivement A', B', C'. On sait d’après le problème n°1 de D1959 que la perpendiculaire à BC passant par A', la perpendiculaire à CA passant par B' et la perpendiculaire à AB passant par C' ont un point commun P.
1) Montrer que lorsque (L) pivote autour d'un point fixe O donné le point P décrit une ellipse.
2) Cette ellipse peut-elle être un cercle ?
3) Pour quels points O cette ellipse est-elle réduite à un segment?