Problème proposé par Dominique Roux à partir d’un énoncé de la compétition australo-britannique « The 2013 Mathematical ashes »

On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la droite OD un point mobile P. La perpendiculaire en P à la droite OD coupe les droites BC , CA , AB en respectivement A' , B' , C'.
1) Monter que les cercles (PAA') , (PBB') , (PCC') ont un second point commun Q ou sont tangents en P.
2) BC recoupe le cercle (PAA') en A''. On construit de façon analogue B'' et C''
  - Montrer que si P est sur le cercle (ABC) les droites AA'' , BB'' , CC'' sont parallèles.
  - Montrer que si P est en O les droites AA'' , BB'' , CC'' sont concourantes en un point du cercle (ABC).
3) Montrer que de façon générale les droites AA'', BB'', CC'' ont un point commun E.

 Solution

Maurice Bauval a résolu le problème.