Problème proposé par Dominique Roux

On donne 3 points A , B , C sur un cercle (O). Les tangentes à ce cercle en A , B , C forment un triangle A'B'C'. On sait que les droites AA' , BB' , CC' ont un point commun K.

Le cercle (KBC) recoupe les côtés AB et AC en respectivement Ba et Ca et recoupe les tangentes en B et C en respectivement A'b et A'c.

De même le cercle (KCA) recoupe BC et BA en Cb et Ab et recoupe les tangentes en C et A en B'c et B'a.

Enfin le cercle (KAB) recoupe CA et CB en Ac et Bc et recoupe les tangentes en A et B en C'a et C'b.

1) Montrer que les 6 points Ab,Ac,Bc,Ba,Ca,Cb sont cocycliques et que BaCa = CbAb = AcBc.

2) Montrer que les 6 points A'b,A'c,B'c,B'a,C'a,C'b sont cocycliques et que B'aC'a = C'bA'b = A'cB'c.

 Solution

Maurice Bauval,Pierre Renfer et Bernard Vignes ont résolu le problème.