Problème proposé par Dominique Roux

On donne dans le plan 3 points A, B, C et deux droites perpendiculaires (d') et (d'') sécantes en un quatrième point D.
(d') coupe les côtés respectifs du triangle ABC en A', B', C' et (d'') coupe de même les côtés de ABC en A'', B'', C''.
a) Montrer que les cercles (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), (ABC) passent par un même point M' et que leurs centres sont sur un même cercle passant aussi par M'.
De même les cercles (AB''C''), (BC''A''), (CA''B''), (ABC) passent par un point M'' situé sur le cercle contenant leurs centres.
b) Existe-t-il un couple (d'), (d'') pour lequel M' et M'' sont confondus en un point M ? Discuter suivant la position de D par rapport au triangle ABC.
c) On se place dans le cas où M' et M'' sont confondus en un point M. Montrer qu'alors les cercles de diamètres [A'A''], [B'B''], [C'C''] passent aussi par le point M.

 Solution

Maurice Bauval et Pierre Henri Palmade ont résolu le problème.