D1941. Une jolie miniature - D1941. Une jolie miniature D1. Géométrie plan... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de

On trace deux droites perpendiculaires qui passent par l’orthocentre d’un triangle ABC sans être parallèles à l’un quelconque des côtés du triangle. Elles déterminent trois segments sur les droites portant les côtés du triangle. Démontrer que les milieux de ces segments sont sur une même droite.

Solution

Cette jolie miniature,connue sous le nom de Théorème de Droz-Farny, a donné lieu à des solutions très variées et très intéressantes fondées sur:
- la géométrie classique (égalités d'angles,inversion,droite de Steiner,..): Dominique Roux,Claude Felloneau,Maurice Bauval,Jean Nicot,Pierre Henri Palmade,Gaston Parrour .
- la géométrie analytique : Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Jullien .
- une méthode originale,l'involution canonique, qui ne figure pas dans les manuels classiques de géométrie : Pierre Renfer .

De son côté Jean-Louis Aymé donne une joile preuve synthétique de ce théorème accessible sur le site Forum Geometricorum.

Nous joignons aussi une analyse (en langue anglaise) faite par Titu Andreescu et Cosmin Pohoata,auteurs prolixes de problèmes mathématiques,dans l'article Théorème de Droz-Farny.