Note liminaire : en faisant appel à des approches différentes (géométrie classique, géométrie projective, complexes, géométrie analytique,etc...),le lecteur est invité à donner plusieurs solutions de ce problème.
Dans un triangle ABC d’orthocentre H, on désigne respectivement par A₁,A₂ et A₃le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC, le point d’intersection de cette hauteur avec le cercle circonscrit au triangle et le milieu de AH. De la même manière on définit B₁,B₂ et B₃ avec la hauteur issue de B et enfin C₁,C₂ et C₃ avec la hauteur issue de C.
On considère les quatre couples de droites (BC, B₁C₁), (B₂C₂, B₃C₃),(B₁C₃, BC₂) et (B₂C, B₃C₁) qui se rencontrent respectivement en I, I₁, I₂ et I₃  De la même manière par permutation des lettres B,C,A on obtient les huit autres points : J, J₁, J₂ et J₃  et enfin K,K₁,K₂ et K₃ .
Démontrer que les douze points I, I₁, I₂, I₃, J, J₁, J₂, J₃, K, K₁, K₂ et K₃ sont sur une même droite.

 Solution