Un point P du cercle circonscrit à un triangle ABC se projette respectivement sur les droites BC et AC en deux points I et J. La droite IJ coupe la droite AB en un point K. H_a et H_b sont les orthocentres des triangles AJK et BIK tandis que L et M sont les milieux des segments AI et BJ. Démontrer que la droite LM passe par le milieu de CK et qu’elle est perpendiculaire aux deux droites IJ et H_aH_b .
Nota : les trois droites IJ, H_aH_b et LM portent des noms qui justifient le titre du problème.

Solution

Pierre Renfer,Pierre Jullien ,Pierre Henri Palmade et Louis Rogliano ont résolu le problème.
La droite IJK est la droite de Simson (mathématicien écossais). La droite H_aH est la droite de Steiner (mathématicien suisse). Enfin la droite LM est la droite de Newton appelée encore droite de Gauss don tla nationalité est bien connue.
Les deux premières droites sont parallèles entre elles, la troisième leur est perpendiculaire. D'où le titre du problème.