D142. A la recherche de droites concourantes Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Dans un triangle scalène ABC, on trace les droites qui joignent les sommets aux points qui partagent le côté opposé en n segments de même longueur. Quelle est la plus petite valeur impaire de n telle qu'il existe au moins trois droites concourantes issues respectivement des sommets A, B et C.

Pour cette valeur de n = 2k + 1, le polygone délimité par les six droites issues des trois sommets et passant par les extrémités du (k+1)ième segment du côté opposé a une aire égale à 1. Quelle est la dimension de la hauteur issue du sommet A sachant que BC = 23?

Source : d'après Leslie Reid (université du Missouri) et la Jaune et la Rouge (juin-juillet 2009)


 Solution


Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Claude Felloneau,Pierre Jullien et Philippe Laugerat ont résolu le problème.
On peut généraliser la deuxième partie du problème avec un entier n impair quelconque > 1.Quel que soit n, le polygone central est toujours un hexagone et son aire rapportée à celle du triangle ABC est égale à 8/(9n2 - 1).Cette propriété est connue sous le nom du théorème de Marion-Morgan(voir http://mathworld.wolfram.com/MarionsTheorem.html). Pour plus de détails sur la démonstration de ce théorème, les lecteurs qui pratiquent l'espagnol peuvent consulter le document de Francisco G. Gonzalez Martinez et de Floreal Gracia Alcaine Ampliacion al teorema del Morgan. Pour n = 15,les aires sont dans le rapport de 1 à 253. D'où la hauteur de ABC égale à 2*253/23 = 22.