| D173. Possible ou pas possible? |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
 
Les trois nombres entiers 2,3 et 5 se trouvent mêlés à des querelles « arithmético-géométriques » entre Zig et Puce. L'un répond toujours « Possible » aux quatre configurations suivantes d'un triangle ABC et l'autre affirme « Pas possible ». Quel est votre avis ? Q1 - La bissectrice intérieure de l'angle en A d'un triangle ABC coupe le cercle circonscrit en D. On a AB = 2cm, AD = 3 cm et AC = 5 cm. Q2 - A partir d'un point P intérieur à un triangle ABC, on trace AP, BP et CP qui coupent respectivement BC, CA et AB en E,F et G. Les aires des triangles PAF, PCF et PCE sont respectivement de 5 cm2, de 2 cm2 et de 3 cm2. Q3 - Le segment OH qui relie le centre du cercle circonscrit O à l'orthocentre H d'un triangle ABC est parallèle au côté BC. Par ailleurs OH = 3 cm et BC = 5 cm. Q4 - Le sommet A d'un triangle ABC et le centre I du cercle inscrit sont sur l'axe des ordonnées respectivement à 5 cm et 2 cm de l'origine O tandis que le centre de gravité G est sur l'axe des abscisses à 3 cm de O.
SolutionJean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. Les trois premières configurations correspondant à Q1, Q2 et Q3 sont impossibles. A l'inverse la dernière Q4 est possible et il existe une solution géométrique fondée sur la construction d'un triangle faite par Eric Daneels à partir d'un sommet, du centre de gravité et du centre du cercle inscrit. Voir la figure qui est obtenue.
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