1-      Ce premier triangle ABC a un angle obtus en A et l'angle en B  est le double de l'angle en C. Le cercle circonscrit à ABC a pour centre O et rayon R = 1. On construit le triangle isocèle de base OB avec le sommet D situé du même côté que A par rapport OB et les angles DBO et DOB sont l'un et l'autre le triple de l'angle ACB. Sur le côté DB on trace le point E tel que DE = 1. Le point E est confondu avec l'orthocentre du triangle ABC.Comment s'appelle ce curieux triangle ABC où l'on peut construire l'orthocentre sans avoir besoin de tracer les hauteurs ? Que vaut le carré de la distance OE ?

2-      Les côtés de ce deuxième triangle ABC ont les dimensions suivantes BC = 2009, AC = 2010 et AB = 2008. Soient O le centre du cercle circonscrit à ce triangle, D et E les milieux des côtés AB et AC. Démontrer que sans tracer les bissectrices des angles au sommet on peut construire le centre du cercle inscrit au triangle ABC qui est à l'une des deux intersections du cercle passant par quatre points convenablement choisis parmi les six points A,B,C,D,E et O et de la médiatrice d'une corde de ce cercle.

 solution