On travaille dans le plan affine ordinaire : les droites parallèles sont autorisées, mais leurs points d’intersection à l’infini ne sont pas comptés et aucun point ni aucune droite à l’infini n’est ajouté ou compté.

Q₁. Montrer que, pour tout entier n > 0, il existe au moins un entier k > 1 tel que k droites distinctes du plan ont exactement n points d’intersection distincts. [*]

Q₂. On trace 10 droites distinctes dans le plan. Déterminer toutes les valeurs possibles du nombre de points d’intersection distincts. [***]

Q₃. Déterminer respectivement le plus petit nombre k₁ et le plus grand nombre k₂ de droites distinctes qui ont exactement 2026 points d’intersection distincts. [**]

Q₄. Prouver qu’on sait trouver 100 droites distinctes qui ont 2026 points d’intersection distincts. [***]

Q₅ Pour les plus courageux : déterminer les entiers k, k₁ < k < k_2, tels qu’il est impossible d’obtenir 2026 points d’intersection avec k droites distinctes. [*****]

 Solution