Problème proposé par Bernard Vignes
Soit un entier naturel n > 0.On désigne par f(n) le nombre de toutes les suites dont le premier terme est 1, le dernier terme est n et les termes intermédiaires (s’il existent) sont des diviseurs de n de sorte que chacun d’eux divise son successeur.
Par exemple, pour n = 6, on a f(6) = 3 avec les trois suites {1,6}, {1,2,6}, {1,3,6}. La suite {1,2,3,6} ne convient pas car 2 ne divise pas 3.
Q₁ A titre de mise en jambes, calculer successivement f(24), f(143), f(224), f(405), f(2023).
Q₂ Trouver le plus petit entier m tel que f(m) = m et le plus petit entier n tel que f(n) > n.
Q₃ Démontrer qu’il existe un entier n tel que f(n) est un multiple de 2023.

 Solution