| G2968. Les chevaliers de la Table Ronde |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Le roi Arthur a convoqué n chevaliers installés autour de la Table ronde dans le sens horaire 1,2,…n.
Choisissant un entier k et partant du chevalier n°1, il fait le tour de la Table dans le sens horaire, dit à voix haute les entiers 1,2,..k et donne une nouvelle tunique au chevalier devant lequel il prononce l’entier k. Il poursuit le processus jusqu’à ce qu’il tombe sur un chevalier qui a déjà reçu une tunique. Il effectue ensuite une distribution de cottes de maille et pour terminer une distribution de heaumes selon le même principe en retenant respectivement les entiers k + 1 et k + 2, toujours en partant du chevalier n°1. On constate que 80 chevaliers n’ont pas reçu de nouvelles tuniques et 75 chevaliers n’ont pas reçu de cottes de mailles. Déterminer n, puis le nombre de chevaliers qui ont reçu un heaume et enfin les chevaliers qui ont reçu les trois équipements (tunique, cotte de maille, heaume). Nota: Plusieurs valeurs de k répondent aux conditions de l'énoncé. Le roi Arthur n'est plus tout jeune et il a choisi l'entier k minimisant le nombre de tours qu'il a effectués autour de la Table pour assurer la distribution des équipements. Solution Thérèse Eveilleau,Anne Bauval,Claude Felloneau,Maxime Cuenot,Pierre Henri Palmade,Francesco Franzosi,Louis Rogliano et Daniel Collignon ont résolu le problème.Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ). Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ). Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ). Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions. Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021 |
