G2959. Neuf chiffres Imprimer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Problème proposé par Leteurtre
E est l'ensemble des nombres décimaux de 9 chiffres de 0 à  9, tous différents.
Q1 Déterminer le cardinal de E
Q2 On extrait de E le sous-ensemble des nombres N tels que N1= 2N appartient aussi à  E. Montrer que le cardinal de ce sous-ensemble est pair.
Q3 Il existe 3 sextuplets contenant chacun un nombre N et ses multiples 2N, 4N, 5N, 7N et 8N  qui appartiennent tous à  E.
Le premier sextuplet obtenu  grâce à une  recherche exhaustive sur ordinateur est le suivant :
 N : 108765432, 2N : 217530864, 4N : 435061728, 5N : 543827160, 7N : 761358024  et 8N : 870123456
Déterminer les deux  autres sextuplets sachant que les entiers N diffèrent d’une unité  et que l'un des deux est multiple de 9.
Q4 Soit N1 = 2N et N2 = 4N. Prouver que si N et N2 appartiennent à E, alors N1 appartient aussi à E.

 Solution



pdfLouis Rogliano,pdfDaniel Collignon et pdfPierre Leteurtre ont résolu tout ou partie du problème.