| G2909. Divisibilités en série |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Problème proposé par Christian Romon
Pour n = 1,2,3,....on considère la suite {un} des entiers égaux au produit de 7 entiers consécutifs commençant par n. Ainsi u1 = 1.2.3.4.5.6.7 = 7! = 5040, u2 = 2.3.4.5.6.7.8 = 8!/1! = 40320, u3 = 3.4.5.6.7.8.9 = 9!/2! = 181440,..., un = n(n+1).(n+2).(n+3).(n+4).(n+5).(n+6)= (n + 6)!/(n − 1)!. A partir de cette suite, on construit la suite {vk} définie par le terme général vk =  qui est la somme des k premiers termes de la suite {un}.Ainsi v1=5040,v2=45360,v3=226800,.... Démontrer qu'il existe au moins huit termes de la suite {vk}qui sont divisibles par 2019. Pour les plus courageux: N et p étant deux entiers quelqconques fixés à l'avance > 1,on construit successivement la suite {un} des entiers égaux au produit de p entiers consécutifs commençant par n pour n = 1,2,3,... puis la suite {vk} dont le terme général vk = est égal à la somme des k premiers termes de la suite {un}.Démontrer qu'il existe au moins p + 1 termes de la suite {vk} qui sont divisibles par N.Solution Michel Lafond,Maurice Bauval,Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin et Daniel Collignon ont résolu le problème. |
