G2937. Mises entre parenthèses Imprimer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Le signe "/" désignant la division,on considère l'expression E = p1 / p2 / p3 /..../ pn  qui contient n nombres premiers distincts p1, p2, p3,...., pn dans un ordre fixé . On place dans E des parenthèses (..) qui indiquent l'ordre dans lequel les nombres sont divisés de sorte que le résultat obtenu est une fraction rationnelle fi (i = 1,2,...) *.
Q1 Déterminer en fonction de n le nombre k de fractions distinctes obtenues avec tous les arrangements possibles des parenthèses.
Q2 On considère l'expression E avec les sept nombres premiers 2,3,5,7,11,13 et 17 pas nécessairement pris dans cet ordre et on classe par ordre croissant toutes les fractions rationnelles distinctes que l'on peut obtenir: f1,f2,f3...,fi,....fk.
Montrer qu'il existe un arrangement des sept nombres dans E qui satisfait dans cet ordre les deux conditions suivantes:
- il existe une fraction fi de la forme Ni / Di avec Ni et Di entiers tels que Ni − Di = 1,
- le rapport r = fk /f1 est le plus grand possible.
Donner la valeur correspondante de r ainsi qu'une écriture de E avec les parenthèses dont le résultat est fi.
Déterminer le nombre d'expressions E qui satisfont les deux conditions.

 *Par exemple,pour n = 3, p1 = 3, p2 = 13 et p3 = 2, on a l'expression E = 3/13/2 dans laquelle il y a deux manières de placer les parenthèses qui permettent d'obtenir : f1 =  (3/13)/2 = 3/26 et f2 = 3/(13/2) = 6/13.

 Solution


pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPierre Henri Palmade, pdfClaude Felloneau,pdfJean-Louis Legrand,pdfThérèse Eveilleau,pdfDavid Draï et pdfPierre Jullien ont résolu le problème.