| G2929. Neuf perles pour un collier tricolore |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Problème proposé par Pierre Forest On désigne par N(i,j) le nombre de colliers différents contenant i perles en tout et où exactement j couleurs distinctes sont présentes,sans retournement du collier.Calculer N(9,3)(1). (1) Nota : avec un collier tricolore de trois perles décrit dans le sens horaire,on a N(3,3) = 2. En effet "Bleu-Blanc-Rouge", "Blanc-Rouge-Bleu" et "Rouge-Bleu-Blanc" obtenus par rotations successives ne font qu'un seul et même collier tandis que "Bleu-Rouge-Blanc" = "Rouge-Blanc-Bleu" = "Blanc-Bleu-Rouge" (comme si le premier collier avait été retourné) donne le deuxième collier. Solution Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Renfer,Gwenaël Robert et l'auteur Pierre Forest ont résolu le problème et ont obtenu N(9,3) = 2018.Belle coïncidence avec le millésime en cours! Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0. Q1 : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23. Quel entier s'écrit ab ? Q2 : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139. Quels entiers s'écrivent ab ? Q3 : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13. Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ? Q4 : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48. Quel entier s'écrit abc ? Q₅ : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168. Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.
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